群论（Group Theory）研究名为群的代数结构，群论是抽象代数（Abstract Algebra）中的核心概念，它是其它代数结构的基础，例如：环、域、向量空间等，可以看成是在群之上，增加运算符和公理约束而产生的。

群的定义

群（Group）是由一个集合以及一个二元运算所组成。集合和二元运算必须符合 4 个群公理才能被称之为群。

假设有一个二元运算符""，符号""并不代表乘法，它只是一个符号，可以代表任何二元运算，例如加、减、乘、除。它结合任何两个元素 和 而形成另一个元素，记为。

对于一个集合 ，以及二元运算符""，如果满足以下四个群公理：

  1. 封闭性（Closure）：对于所有 中的 、，运算 的结果也在G中。
  2. 结合性（Associativity）：对于所有 中的 、、，等式 成立。
  3. 存在单位元（Identity element）： 中存在一个元素 ，使得对于 中的任意元素 ，等式 成立。
  4. 存在逆元（Inverse element）：对于每个 中的 ，存在 中的一个元素 使得 ，这里的 是单位元。

则称集合 ，以及二元运算符""，构成一个群，用符号表示为 。也可以简写成 ，通过上下文来区分 到底代表群还是集合。

例子：所有整数的集合 与加法运算构成一个群。因为：

  • 封闭性：对于任何两个整数 和 ，它们的和 也是整数。满足封闭性。
  • 结合性：对于任何整数 , 和 ，。满足结合性。
  • 存在单位元：如果 是任何整数，那么 。因此单位元为 。
  • 存在逆元：对于任何整数 ，与 相加等于单位元 。 就是 的逆元。

群的阶

群 的阶（order）定义为群所含元素的个数，用符号表示为： 或 。

如果 的元素为无限个，则称为无限群，其阶为无限大。如果元素为有限个，则称为有限群。

群里面的元素也定义了阶，群里面任意元素 的阶定义为最小的正整数 ，使得 ，其中 为群的单位元。如果这样的正整数 不存在，则表示 的阶为无限大。元素 的阶用符号表示为： 或 。

子群

给定群 ，如果集合 ，且 中包含了单位元， 中每个元素的逆元也在 中，则称 为 的子群（subgroup）。

因为 存在单元和逆元，其封闭性和结合性直接继承了，它满足了群的四个公理，因此它就是一个群。

求幂

给定群 ，对任意一个元素 应用 次运算符“”，表示为

次

叫做 的 次幂。注意定义在群 上的 不能单纯的理解为平时所见的乘方。它表示在一个元素上对抽象的二元运算的重复多次使用。

例如当 表示定义在加法上的群时，。

阿贝尔群

阿贝尔群（abelian group）是一种特殊的群，除了满足普通群的四个公理，阿贝尔群还需要满足一个额外的公理：交换性。

交换性（Commutativity）：对于 中任意两个元素 ， 满足 。

循环群

循环群（cyclic group）是指能由群中的某个元素做幂运算而生成的群。

定义：设 为一个群，若存在一个 内的元素 ，使得 ，则称 关于运算 “” 形成一个循环群。 叫做群的生成元。

循环群也分为有限循环群和无限循环群。若 为 生成的 阶有限循环群，那么集合 可以写成 。其中 ， 为群的单位元。

对群 里面的任一元素 不断求幂都可以生成一个群，用符号 表示。 既可能是有限群，也有可能是无限群。

性质 1： 一定是 的子群。因为根据群运算的封闭性， 中的每个元素都属于 。

性质 2： 一定是循环群， 就是它的一个生成元，元素 的阶等于 的阶。

性质 3：当 是有限群时， 可以写成 ，其中 。当 时，有 ，此时 就是 的生成元。

性质 4：循环群的每个子群一定也是循环群。

性质 5：所有循环群都是阿贝尔群。

循环群元素的阶

设 为 生成的 阶有限循环群。 的任一元素可以表示为 （）， 的阶由以下公式给出：

证明：

设 ，根据元素阶的定义有 。由于 为 的生成元，因此 必须为 的倍数，即 。

求 的问题，变成了求最小的 ，使得 。

设 ，如果 ，那么消去公约数 后，左右两个数依然是倍数关系，也即是 。由于 ，即两个数互质，那么要使 成立， 必须是 的倍数，所以 最小值为 ，也就是 。证毕。

有限循环群生成元的个数

阶有限循环群生成元的个数为 。

证明：

设 （）为 阶有限循环群 的任一元素。要使 为 的生成元。需要满足 。由于 ，因此需要满足

那么有 ，也就是说 与 互质。由于 ，小于 且与 互质的数个数由欧拉函数 给出。

拉格朗日定理

拉格朗日定理（lagrange's theorem）给出了群与子群之间阶的关系：设 是有限群 的一个子群，则 的阶整除 的阶。也可以表示为 。

推论1：设 是有限群 的一个元素，则 的阶整除 的阶。

证明：

因为由 生成的循环群是 的子群，且这个循环子群的阶就是 的阶。所以 的阶整除 的阶。

推论2：阶为质数的群都是循环群。

证明：

因为质数不可分解，因此群元素的阶要么等于1，要么等于群的阶。如果群的阶大于1，那么除了单位元以外，其它元素的阶都等于群的阶。只要存在元素的阶等于群的阶，那么这个群就是循环群。因此阶为质数的群都是循环群，除了单位元的所有元素都是这个群的生成器。

推论3：费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论。

证明：

质数 互质同余类，构成一个整数模 乘法群 ， 的阶为 。

设 ，且 的阶为 ，根据元素阶的定义有 。

根据拉格朗日定理， 的阶 可以整除 的阶 。设 ， 为正整数。则有